Question

已知二次函數f(x)=ax²+bx+c和一次函數g(x)=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).
(1)求證:兩函數的圖象交于不同的兩點A、B；
(2)求線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍.

Answer 1

(1)證明略 (2) |A₁B₁|∈()

由消去y得ax²+2bx+c=0
Δ=4b²－4ac=4(－a－c)²－4ac=4(a²+ac+c²)=4［(a+c²］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴c²>0,∴Δ>0,即兩函數的圖象交于不同的兩點.
(2)解:設方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁和x₂,則x₁+x₂=－,x₁x₂=.
|A₁B₁|²=(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂
　
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)
∵的對稱軸方程是.
∈(－2,－)時，為減函數
∴|A₁B₁|²∈(3,12),故|A₁B₁|∈().