Question

已知函數 
（1）函數在區間上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（2）當時，恒成立，求整數的最大值；
（3）試證明：（）

Answer 1

（1）在區間上是減函數；（2）；（3）詳見解析

試題分析：（1）求導即可知，在區間上是減函數；（2）將代入得在上恒成立，令，則 下面利用導數求出的最小值即可；（3）待證不等式的左邊是積的形式，而右邊是底數為的一個冪，故考慮兩邊取自然對數，即原不等式轉化為： 注意用（2）題的結果 由（2）可得： 對照所要證明的不等式可知，需令，由此可得：

 
 
即 
試題解析：（1）由題                 （3分）
故在區間上是減函數                             （4分）
（2）當時，在上恒成立，取，則，                                  （6分）
再取則             （7分）
故在上單調遞增，
而，            （8分）
故在上存在唯一實數根，
故時，時，
故故          （9分）
（3）由（2）知：
令，
所以
 
 
即              14分