Question

（文）已知函數f(x)=

2

3

x3-ax2-3x，x∈R．
（1）若函數在x=1時取得極小值，求實數a的值；
（2）當|a|＜

1

2

時，求證：f（x）在（-1，1）內是減函數．

Answer 1

分析：（1）通過求函數的導數，函數f（x）在x=1處取得極值，就是x=1時導數為0，求出a，利用極小值，驗證求出a，可得f（x）的解析式；
（2）要證：f（x）在（-1，1）內是減函數，只須證在（-1，1）內恒有f'（x）＜0，利用二次函數的性質即可以得證．

解答：解：（1）∵f(x)=

2

3

x3-ax2-3x，
∴f'（x）=2x²-2ax-3
由f′(1)=0⇒a=-

1

2

…（4分）
又a=-

1

2

時，f′(x)=(2x+3)(x-1)x∈(-

3

2

，1)時，f′(x)＜0，x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，所以在f（x）在x=1時取得極小值，所以a=-

1

2

；
證明：（2）f'（x）=2x²-2ax-3是x的二次函數，
且對稱軸方程  x=

a

2

，∵-

1

2

＜a＜

1

2

，，∴-1＜2a＜1．
∴-

1

4

＜

a

2

＜

1

4

．…（8分）
∴f'（1）=2-2a-3=-2a-1＜0，f'（-1）=2+2a-3=2a-1＜0．…（10分）
∴f'（x）在（-1，1）內恒有f'（x）＜0．
∴f（x）在（-1，1）內是減函數．  …（12分）

點評：本題考查待定系數法求函數解析式，函數恒成立問題，利用導數研究函數的極值，是中檔題．