Question

【題目】已知向量 =（2cosx，t）（t∈R）， =（sinx﹣cosx，1），函數y=f（x）= ，將y=f（x）的圖象向左平移 個單位長度后得到y=g（x）的圖象且y=g（x）在區間[0， ]內的最大值為 ．
（1）求t的值及y=f（x）的最小正周期；
（2）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若 g（ ﹣ ）=﹣1，a=2，求BC邊上的高的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（2cosx，t）， =（sinx﹣cosx，1），

∴函數y=f（x）= =2sinxcosx﹣2cos2x+t=sin2x﹣cos2x+t﹣1= sin（2x﹣ ）+t﹣1，

將y=f（x）的圖象向左平移 個單位長度后，得g（x）= sin2x+t﹣1的圖象，

當0≤x≤ 時，0≤2x≤ ，

∴ ，得t=1．

∴f（x）= sin（2x﹣ ），

最小正周期T=

（2）解：∵ g（ ﹣ ）=﹣1，

∴ g（ ﹣ ）=2[sin（A﹣ ）=﹣2cosA=﹣1，

解得：cosA= ，

故A= ，

又∵a=2，

此時△ABC的外接圓O中，a邊2所對的圓角角為 ，

故當△ABC為等邊三角形時，

a邊上的高取最大值

【解析】（1）利用兩個向量數量積公式和輔助角公式推知f（x）= sin（2x﹣ ）+t﹣1，由此求得該函數的最小正周期；根據三角函數的恒等變換求得函數g（x）= sin2x+t﹣1，根據正弦函數的值域的求法可以得到t的值；（2）由 g（ ﹣ ）=﹣1求得A，再結合正弦定理和余弦定理求BC邊上的高的最大值．