Question

下列命題：
①命題p：?x₀∈[-1，1]，滿足x₀²+x₀+1＞a，使命題p為真的實數a的取值范圍為a＜3；
②代數式sinα+sin(

2

3

π+α)+sin(

4

3

π+α)的值與角α有關；
③將函數f(x)=3sin(2x-

π

3

)的圖象向左平移

π

3

個單位長度后得到的圖象所對應的函數是奇函數；
④已知數列a_n滿足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N^*），記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，則S₂₀₁₁=m；其中正確的命題的序號是

 

 （把所有正確的命題序號寫在橫線上）．

Answer 1

分析：利用函數成立問題的處理方法，可以判斷①的正誤；根據特殊角三角函數值，及兩角和的正弦值，可以判斷②的對錯；利用函數平移變換及三角函數的奇偶性的判斷方法，可以判斷③的對錯；根據數列的分組求和法，利用數列各項的變化趨勢，可以得到④正誤，進而得到答案．

解答：解：當x₀∈[-1，1]時，x₀²+x₀+1∈[

3

4

，3]
∴?x₀∈[-1，1]，滿足x₀²+x₀+1＞a，使命題p為真的實數a的取值范圍為a＜3為真命題；
∵sinα+sin(

2

3

π+α)+sin(

4

3

π+α)=0恒成立，
∴代數式sinα+sin(

2

3

π+α)+sin(

4

3

π+α)的值與角α有關為假命題；
將函數f(x)=3sin(2x-

π

3

)的圖象向左平移

π

3

個單位長度后得到的圖象所對應的函數f(x)=3sin(2x+

π

3

)，
由函數f(x)=3sin(2x+

π

3

)是非奇非偶函數，故③為假命題；
∵數列a_n滿足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N^*），
∴a₃=n-m，a₄=-m，a₅=-n，a₆=m-n，a₇=m，a₈=n，…
數列a_n的項以6為周期，呈周期性變化，
且a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0
故∴S₂₀₁₁=a₁+a₂+…+a₂₀₁₁=a₁=m
故④為真命題
故答案為：①④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，存在題詞，數列遞推式，兩角和與差的正弦函數，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換其中熟練掌握這些基本的知識點是解答此類問題的根本．