Question

某校課外興趣小組的學生為了給學校邊的一口被污染的池塘治污，他們通過實驗后決定在池塘中投放一種能與水中的污染物質發生化學反應的藥劑．已知每投放m（1≤m≤4，且m∈R）個單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時間x（天）變化的函數關系式近似為y=m•f（x），其中f（x）=

16 8-x ，0≤x≤4 5- 1 2 x，4＜x≤10

若多次投放，則某一時刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和．根據經驗，當水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時，它才能起到有效治污的作用．
（Ⅰ）若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污時間可達幾天？
（Ⅱ）若第一次投放2個單位的藥劑，6天后再投放m個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續有效治污，試求m的最小值．

Answer 1

分析：（I）根據一次投放4個單位的藥劑，結合分段函數，建立不等式，即可求出有效治污時間；
（Ⅱ）根據第一次投放2個單位的藥劑，6天后再投放m個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續有效治污，建立函數解析式，利用基本不等式可得結論．

解答：解：（I）∵m=4，∴y=

64 8-x (0≤x≤4) 20-2x(4＜x≤10)

．                  …（2分）
當0≤x≤4時，由

64

8-x

≥4，解得x≥-8，此時0≤x≤4；
當4＜x≤10時，由20-2x≥4，解得x≤8，此時4＜x≤8．        …（4分）
綜上，得0≤x≤8．故若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污的時間可達8天．…（6分）
（II）當6≤x≤10時，y=2×(5-

1

2

x)+m[

16

8-(x-6)

]=10-x+

16m

14-x

=14-x+

16m

14-x

-4，…（9分）
又14-x∈[4，8]，m∈[1，4]，則y≥2

16m

-4=8

m

-4．
當且僅當14-x=

16m

14-x

，即14-x=4

m

∈[4，8]時取等號．
令8

m

-4≥4，解得m≥1，
故所求m的最小值為1．                    　　　　　　    …（14分）

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查分段函數的運用，考查基本不等式的運用，確定函數解析式是關鍵．