Question

(本小題滿分16分)
已知函數f(x)=x²-2ax+a+2，aÎR．
(1)若不等式f(x)<0的解集為Æ，求實數a的取值范圍；
(2)若不等式f(x)≥a對于xÎ[0，+∞)恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）[-1，2]．（2）a≤．

本試題主要是考查了一元二次不等式的解集的求解，以及二次不等式的恒成立問題的綜合運用。
（1）首先根據二次不等式的解集為空集，說明了判別式小于等于零，從而得到參數的取值范圍。
（2）根據不等式f(x)≥a可化為x²-2ax+2≥0對于xÎ[0，+∞)恒成立，然后分析函數g(x)= x²-2ax+2，在給定區間的最小值即可。
解: (1)若不等式f(x)<0的解集為Æ，
則方程f(x)=0的判別式∆≤0，                         ··········· 2分
即∆=(-2a)²-4(a+2)≤0⇒a²-a-2≤0⇒-1≤a≤2，
所以實數a的取值范圍是[-1，2]．                     ··········· 7分
(2)不等式f(x)≥a可化為x²-2ax+2≥0對于xÎ[0，+∞)恒成立，
令g(x)= x²-2ax+2，函數g(x)的對稱軸為x=a，(借助函數圖象)········· 9分
當a≥0時，則只需g(a)= a²-2a²+2= -a²+2≥0
⇒－≤a≤，即0≤a≤；   ··················· 12分
當a<0時，則只需g(0)=2>0恒成立，此時a<0；         ··········· 14分
綜上，實數a的取值范圍為a≤．                    ·········· 16分
(注：第(2)小題也可以用分離參數的方法來求解)