Question

設

e1

，

e2

為兩個不共線的向量，若

a

=

e1

+λ

e2

，

b

=-(2

e1

-3

e2

)；
（1）若

a

、

b

共線，求λ值；
（2）若

e1

，

e2

為互相垂直的單位向量，求

a

、

b

垂直時λ的值．

Answer 1

分析：（1）由非零向量

a

、

b

共線的充要條件為存在實數m，使

a

=m

b

，將

a

=

e1

+λ

e2

，

b

=-(2

e1

-3

e2

)代入，得關于不共線的向量

e1

，

e2

的等式，由平面向量基本定理得方程，即可解得λ值
（2）由向量

a

、

b

垂直的充要條件為

a

•

b

=0，將

a

=

e1

+λ

e2

，

b

=-(2

e1

-3

e2

)代入，得關于不共線的向量

e1

，

e2

的等式，因為

e1

，

e2

為互相垂直的單位向量，利用向量數量積運算性質即可得方程，解之即可

解答：解：（1）∵

a

、

b

共線，∴設

a

=m

b

 （m∈R）
∵

a

=

e1

+λ

e2

，

b

=-(2

e1

-3

e2

)；
∴

e1

+λ

e2

= -m(2

e1

-3

e2

)
∴

-2m=1 3m=λ

∴λ=-

3

2

（2）∵

e1

，

e2

為互相垂直的單位向量，
∴|

e1

|=1，|

e2

|=1，

e1

•

e2

=0
∵

a

、

b

垂直，∴

a

•

b

=0
∴(

e1

+λ

e2

)•(-2

e1

+3

e2

)=0
∴-2|

e1

|2+（3-2λ）

e1

•

e2

+3λ|

e2

|2=0
∴-2+3λ=0
∴λ=

2

3

點評：本題考查了向量共線的充要條件，向量垂直的充要條件，平面向量基本定理，向量數量積運算及其性質