Question

如圖，側棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是側棱AA₁上的動點．
（1）當AA₁=AB=AC時，求證：A₁C⊥平面ABC₁；
（2）試求三棱錐P-BCC₁的體積V取得最大值時的t值．

Answer 1

分析：（1）先證明AC₁⊥A₁C，再證明AB⊥平面AA₁C₁C，可得AB⊥AC₁，利用線面垂直的判定定理，可得結論；
（2）確定點P到平面BB₁C₁C的距離等于點A到平面BB₁C₁C的距離，表示出三棱錐P-BCC₁的體積，利用導數方法求最值．

解答：（1）證明：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB
又∵AA₁=AC，∴四邊形AA₁C₁C是正方形，∴AC₁⊥A₁C．
∵AB⊥AC，AB⊥AA₁，AA₁，AC?平面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴AB⊥平面AA₁C₁C．
又∵AC₁?平面AA₁C₁C，
∴AB⊥AC₁，
∵AB，AC₁?平面ABC₁，AB∩AC₁=A
∴A₁C⊥平面ABC₁．---（5分）
（2）解：∵AA₁∥平面BB₁C₁C，∴點P到平面BB₁C₁C的距離等于點A到平面BB₁C₁C的距離
∴V=VP-BCC1=VA-BCC1=VC1-ABC=

1

6

t2(3-2t)=

1

2

t2-

1

3

t3(0＜t＜

3

2

)，----（9分）
V'=-t（t-1），令V'=0，得t=0（舍去）或t=1，列表，得

t	（0，1）	1	(1， 3 2 )
V'	+	0	-
V	遞增	極大值	遞減

∴當t=1時，Vmax=

1

6

．---（12分）

點評：本小題主要考查線面垂直，考查三棱錐的體積，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想及應用意識．