Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線斜率為1，求函數的單調區間；

（2）若時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在R上單調遞增；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據曲線在點處的切線斜率為1，可求出參數的值，再對導函數的零點進行分類討論，即可求出函數的單調區間；（Ⅱ）由，構造輔助函數，再對進行求導，討論的取值范圍，利用函數單調性判斷函數的最值，進而確定的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）∵∴∴，

∴，記∴，

當x<0時， 單減；

當x>0時，單增，

∴，

故恒成立，所以在上單調遞增．

（Ⅱ）∵，令∴，

當時，∴在上單增，∴．

i）當即時，恒成立，即∴在上單增，

∴，所以．

ii）當即時，∵在上單增，且，

當時，，

∴使，即．

當時，，即單減；

當時，，即單增．

∴，

∴，由∴．

記，

∴∴在上單調遞增，

∴∴．

綜上，．