Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D為AC中點．
（1）求證：BD⊥AC₁；
（2）若AB=

2

，AA₁=2

3

，求AC₁與平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（1）先根據AA₁⊥平面ABC證得AA₁⊥BD；再結合AB=BC，D為AC中點得到AC⊥BD；兩個結論相結合即可得BD⊥平面ACC₁ A₁進而得到結論；
（2）根據AA₁⊥平面ABC，可得CC₁⊥平面ABC，進而得到AC₁與平面ABC所成的角為∠C₁AC；然后在RT△C₁CA中求出∠C₁AC即可得到結論．

解答：解：（1）證明：∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BD
又∵AB=BC，D為AC中點，∴AC⊥BD
∴BD⊥平面ACC₁ A₁
∴BD⊥AC₁…（4分）
（2）∵AA₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥平面ABC
∴AC₁與平面ABC所成的角為∠C₁AC
∵AB=BC，∠ABC=90°，AB=

2

，∴AC=2
又AA₁=2

3

，∴CC₁=2

3

∴tan∠C₁AC=

CC1

AC

=

2 3

2

=

3

，
∴∠C₁AC=60°．
即AC₁與平面ABC所成的角為60°…（8分）

點評：本題主要考查直線與平面所成的角以及直線和直線垂直的判定．一般在證明線線垂直時，先證明線面垂直；而在證明線面垂直時，先證明線線垂直．