Question

（2012•湖南模擬）函數f（x）=x²+|x-a|-1
（1）若a=0，則方程f（x）=0的解為

x=

5 -1

2

或x=

1- 5

2

．
（2）若函數f（x）有兩個零點，則a的取值范圍是

（-

5

4

，

5

4

）

．

Answer 1

分析：（1）若a=0，解方程 x²+|x|-1=0，解得|x|的值，即可得到方程f（x）=0的解．
（2）由題意可得函數y=x²-1的圖象 與函數y=-|x-a|的圖象有兩個交點，當-1≤a≤1 時，結合圖象可得滿足條件．
當當y=-|x-a|的圖象（兩條射線）與函數y=x²-1的圖象相切時，求得a=-

5

4

，或a=

5

4

，結合圖象可得a的取值范圍．

解答：解：（1）若a=0，則方程f（x）=0即 x²+|x|-1=0，解得|x|=

-1+ 5

2

．
∴x=

-1+ 5

2

，或 x=

1- 5

2

，
故答案為  x=

-1+ 5

2

，或 x=

1- 5

2

．
（2）由于f（x）=x²+|x-a|-1=0有兩個零點，故函數y=x²-1的圖象 與函數y=-|x-a|的圖象有兩個交點．
如圖所示：
當-1≤a≤1 時，顯然函數y=x²-1的圖象 與函數y=-|x-a|的圖象有兩個交點．
當y=-|x-a|的圖象（兩條射線）與函數y=x²-1的圖象相切時，
有

y=x2-1 y=x-a

 有唯一解，或

y=x2-1 y=-x+a

有唯一解．
故 x²+x-a-1=0 有唯一解，或  x²-x+a-1=0 有唯一解．
△₁=1+4a+4=0，或△₂=1-4a+4=0．  解得 a=-

5

4

，或a=

5

4

．
結合圖象可得-

5

4

＜a＜

5

4

，
故答案為 （-

5

4

，

5

4

 ）．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，帶有絕對值的函數，體現了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．