Question

【題目】已知數列{an}和{bn}滿足，a1＝2，b1＝1，且對任意正整數n恒滿足2an+1＝4an+2bn+1，2bn+1＝2an+4bn﹣1.

（1）求證：{an+bn}為等比數列，{an﹣bn}為等差列；

（2）求證（n＞1）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1），．兩式相加相減分別可得：，．又，，化簡即可證明結論．

（2）由（1）可得：．利用數學歸納法，通過放縮即可證明結論．

證明：（1），．

兩式相加相減分別可得：，．

，．

又，，

為等比數列，首項為3，公比為3．

為等差列，首項為1，公差為1．

（2）由（1）可得：．

利用數學歸納法先證明：．

時，，成立．

假設時成立，即．

時，

，

因此左邊不等式成立．

利用數學歸納法先證明：．

時，，成立．

假設時，．

則時，

，

右邊不等式成立．

綜上可得：