Question

如圖，已知等軸雙曲線C：上一定點(diǎn)P(，)及曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B滿足()?()=0(其中O為原點(diǎn))．

(1)求證：()?()=0；

(2)求|AB|的最小值．

Answer 1

解：(1)設(shè)A(₁，₁)，B(₂，₂)，AP、BP的中點(diǎn)分別為M、N，

則，

兩式相減得．

同理．

即=0，即．

∴．

∴

∴OM⊥ON，即()．()=0．

(2)∵∠MON+∠MPN=，∴O、M、P、N四點(diǎn)共圓，且MN為圓的直徑，OP為圓的弦．

|MN|≥|OP|，

∴|AB|=2|MN|≥2|OP|=2．

因此|AB|的最小值為2．