Question

已知M是△ABC內的一點，且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為

1

2

，x，y，則

1

x

+

4

y

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：利用向量的數量積的運算求得bc的值，利用三角形的面積公式求得x+y的值，進而把

1

x

+

4

y

轉化成2（

1

x

+

4

y

）×（x+y），利用基本不等式求得

1

x

+

4

y

的最小值．

解答：解：由已知得

AB

•

AC

=bccos∠BAC=2

3

?bc=4，
故S_△ABC=x+y+

1

2

=

1

2

bcsinA=1?x+y=

1

2

，
而

1

x

+

4

y

=2（

1

x

+

4

y

）×（x+y）
=2（5+

y

x

+

4x

y

）≥2（5+2

y x × 4x y

）=18，
故答案為：18．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，向量的數量積的運算．要注意靈活利用y=ax+

b

x

的形式．