Question

下列四個命題中，真命題的個數為（　　）
①若函數f（x）=sinx-cosx+1，則y=|f（x）|的周期為2π；
②若函數f（x）=cos⁴x-sin⁴，則f′(

π

12

)=-1；
③若角α的終邊上一點P的坐標為（sin

5π

6

，cos

5π

6

），則角α的最小正值為

5π

3

；
④函數y=2cos2x的圖象可由函數y=cos2x+

3

sin2x的圖象向左平移m=-1個單位得到．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由函數f（x）=sinx-cosx+1=

2

sin(x-

π

4

)+1，知y=|f（x）|的周期為π；
②由函數f（x）=cos⁴x-sin⁴=cos2x，知f′(

π

12

)=

6 - 2

2

；
③由角α的終邊上一點P的坐標為（sin

5π

6

，cos

5π

6

）=（

1

2

，-

3

2

），知角α的最小正值為

5π

3

；
④y=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）向左平移

π

6

得到y=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x．

解答：解：①∵函數f（x）=sinx-cosx+1=

2

sin(x-

π

4

)+1，
∴y=|f（x）|的周期為π，故①不正確；
②∵函數f（x）=cos⁴x-sin⁴=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x，
∴f′ (x)=-2sinx，∴f′(

π

12

)=-2sin

π

12

=

6 - 2

2

．故②不正確；
③∵角α的終邊上一點P的坐標為（sin

5π

6

，cos

5π

6

）=（

1

2

，-

3

2

），
∴角α的最小正值為

5π

3

，故③正確；
④∵y=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
∴y=cos2x+

3

sin2x的圖象向左平移

π

6

得到y=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，故④不正確．
故選A．

點評：本題考查命題真假的判斷，解題時要認真審題，注意三角函數的圖象和性質的合理運用．