Question

如圖是多面體和它的三視圖．

(1)若點是線段上的一點，且,求證：;
(2)求二面角的余弦值．

Answer 1

(1)證明見解析；
(2)

解析試題分析：(1)利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.(2)證明線面垂直，需證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3)把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.
試題解析：解：(1)由題意知AA₁，AB，AC兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0，0)，A₁(0，0，2)，B(－2，0，0)，C(0，－2，0)，C₁(－1，－1，2)，則＝(－1，1，2)，＝(－1，－1，0)，＝(0，－2，－2)．(1分)

設E(x，y，z)，則＝(x，y＋2，z)，
＝(－1－x，－1－y，2－z)．(3分)
＝2，得E(
=
設平面C₁A₁C的法向量為m＝(x，y，z)，則由，
得，取x＝1，則y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1，1)，
=，BE⊥平面A₁CC₁.(6分)
(2)由（1）知，平面C₁A₁C的法向量為m＝(1，－1，1)
而平面A₁CA的一個法向量為n＝(1，0，0)，則cos〈m，n〉＝＝＝，故二面角的余弦值.(12分)
考點：利用空間向量證明垂直和夾角問題.