Question

將數列{a_n} 中的所有項按第一排三項，以下每一行比上一行多一項的規則排成如數表：記表中的第一列數a₁，a₄，a₈，…構成的數列為{b_n}，已知：
①在數列{b_n}　中，b₁=1，對于任何n∈N^*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
②表中每一行的數按從左到右的順序均構成公比為q（q＞0）的等比數列；
③．請解答以下問題：
（1）求數列{b_n}　的通項公式；
（2）求上表中第k（k∈N^*）行所有項的和S（k）；
（3）若關于x的不等式在上有解，求正整數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由（n+1）b_n+1²-nb_n²+b_n+1b_n=0，b_n＞0，
令 得t＞0，且（n+1）t²+t-n=0（6分）
即（t+1）[（n+1）t-n]=0，
所以 （8分）
因此 ，，…，，將各式相乘得 ；
（2）設上表中每行的公比都為q，且q＞0．因為3+4+5+…+11=63，所以表中第1行至第9行共含有數列b_n的前63項，故a₆₆在表中第10行第三列，因此又所以q=2．則 k∈N^*
（3）當時，∵為減函數，∴最小值為，∴，∴k≥8
分析：（1）根據題意知 ，因此 ，，…，，將各式相乘得 ；
（2）設上表中每行的公比都為q，表中第1行至第9行共含有數列b_n的前63項，故a₆₆在表中第10行第三列．由此可求出上表中第k（k∈N^*）行所有項的和s（k）；
（3）先求在上的最大值，再解不等式即可．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．