Question

已知，直線，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．
（1）求動點的軌跡曲線的方程；
（2）設動直線與曲線相切于點，且與直線相交于點，試探究：在坐標平面內是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過此定點？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）動點的軌跡曲線的方程為；（2）存在一個定點符合題意.

試題分析：（1）先設點，則，由，易得動點的軌跡曲線的方程；（2）把直線方程和拋物線方程聯立，消去，因為相切等價于，得；從而可得點的坐標，寫出以為直徑的圓的方程，即可得存在一個定點符合題意．
試題解析： （1）設點，則，由，得
，化簡得．
（2）由得，
由，得，從而有,，
則以為直徑的圓的方程為，
整理得，
由得，
所以存在一個定點符合題意.