Question

已知某公司為上海世博會生產某特許商品，該公司年固定成本為10萬元，每生產千件需另投入2.7萬元，設該公司年內共生產該特許商品x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）=

10.8- 1 30 x2    (0＜x≤10) 108 x - 1000 3x2         (x＞10)

．
（Ⅰ）寫出年利潤W（萬元）關于該特許商品x（千件）的函數解析式；
（Ⅱ）年產量為多少千件時，該公司在該特許商品的生產中所獲年利潤最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）當0＜x≤10時，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

3

-10，當x＞10時，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x，由此能求出年利潤W（萬元）關于該特許商品x（千件）的函數解析式．
（Ⅱ）當0＜x≤10時，由W′=8.1-

x2

10

=0，得x=9，推導出當x=9時，W取最大值，且w_max=38.6；當x＞10時，W≤38．由此得到當年產量為9千件時，該公司在該特許商品生產中獲利最大．

解答：解：（Ⅰ）當0＜x≤10時，
W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10，
當x＞10時，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x，
∴W=

8.1x- x3 30 -10，0＜x≤10 98- 1000 3x -2.7x，x＞10

．…（6分）
（Ⅱ）①當0＜x≤10時，
由W′=8.1-

x2

10

=0，得x=9，且當x∈（0，9）時，w′＞0，
當x∈（9，10）時，w′＜0．
∴當x=9時，W取最大值，且w_max=8.1×9-

1

30

×93-10=38.6．…（9分）
②當x＞10時，W=98-（

1000

3x

+2.7x）＜98-2

1000 3x ×2.7x

=38，
當且僅當

1000

3x

=2.7x，即x=

100

9

時，W_max=38．
綜合①、②知x=9時，W取最大值．…（11分）
所以當年產量為9千件時，該公司在該特許商品生產中獲利最大．…（12分）

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查年利潤的最大值的求法．解時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．