Question

已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sinβ=sin(2α+β),則tanβ的最大值是　　　　.

Answer 1

由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化簡得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,
∴tan(α+β)=2tanα,
∴tanβ=tan(α+β-α)=
==.
由題意知,tanα>0,
∴+2tanα≥2
(當且僅當=2tanα,即tanα=時等號成立),
∴tanβ的最大值為=.
【方法技巧】三角函數和差公式的靈活應用
(1)三角函數和差公式在三角函數式的化簡和求值中經常用到,因此公式的靈活應用非常關鍵,公式可以正用、逆用、變形應用.
(2)逆用關鍵在于構造公式的形式,方法是通過三角恒等變換,出現和或差的形式,即出現能逆用公式的條件;有時通過兩式平方相加減,利用平方關系式,切函數化成弦函數等技巧.