Question

【題目】已知直線截圓所得的弦長為．直線的方程為．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）若直線過定點，點在圓上，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據題意，求出圓心到直線l的距離，由直線與圓的位置關系可得2×=，代入圓的方程，解可得r的值，即可得答案，

（Ⅱ）根據題意，將直線l1的方程變形可得（x-y）+m（2x+y-3）=0，進而解可得P的坐標，設MN的中點為Q（x，y），分析可得OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2，即4=x2+y2+（x-1）2+（y-1）2，化簡可得：（x-）2+（y-）2=，可得點Q的軌跡，據此結合直線與圓的位置關系分析可得答案．

（Ⅰ）根據題意，圓O：x2+y2=r2（r＞0）的圓心為（0，0），半徑為r，

則圓心到直線l的距離d==，

若直線l：x+y-1=O截圓O：x2+y2=r2（r＞0）所得的弦長為，則有2×=，

解可得r=2，則圓的方程為x2+y2=4；

（Ⅱ）直線l1的方程為（1+2m）x+（m-1）y-3m=0，即（x-y）+m（2x+y-3）=0，

則有，解可得，即P的坐標為（1，1），

設MN的中點為Q（x，y），則|MN|=2|PQ|，

則OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2，即4=x2+y2+（x-1）2+（y-1）2，

化簡可得：（x-）2+（y-）2=，

則點Q的軌跡為以（，）為圓心，為半徑的圓，P到圓心的距離為，

則|PQ|的取值范圍為[，]，

則|MN|的取值范圍為[-，+]．