Question

【題目】已知橢圓： ，圓： 的圓心在橢圓上，點到橢圓的右焦點的距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點作互相垂直的兩條直線，且交橢圓于兩點，直線交圓于， 兩點，且為的中點，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）求橢圓標準方程，一般方法為待定系數法，只需列出兩個獨立條件，解方程組即可：一是圓心在橢圓上，即，二是根據兩點間距離公式得，解得， ，（2）設直線： ，直線的方程為，根據幾何條件得,所以△的面積等于,先根據點到直線距離公式得，再聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理、弦長公式得,即，最后根據分式函數值域求法得范圍

試題解析：（1）圓： 的圓心為，

代入橢圓方程可得，

由點到橢圓的右焦點的距離為，即有，

解得，即，

解得， ，

即有橢圓方程為．

（2）依題意知直線斜率必存在，當斜率為0時，直線： ，

代入圓的方程可得，可得的坐標為，又，

可得的面積為；

當直線斜率不為0時設直線： ，代入圓的方程可得

，

可得中點，

，

此時直線的方程為，代入橢圓方程，可得：

，

設， ，可得， ，

則，

可得的面積為，

設（），可得，

可得，且，

綜上可得，△的面積的取值范圍是．