Question

已知函數.
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，討論的單調性.

Answer 1

解：（Ⅰ）解：當時，
所以,因此,即曲線在點處的切線斜率為1.
又，所以曲線在點處的切線方程為
（Ⅱ）因為，
所以，.
令
①當時，，
所以，當時，，此時，函數單調遞減；
當時，，此時，函數單調遞增.
②當時，由即解得.
(i)當時，，恒成立，此時，函數在(0,+∞)上單調遞減；
(ii)當時，，時，，此時，函數單調遞減；
（1，）時，，此時，函數單調遞增；
（，）時，，此時，函數單調遞減.
(iii)當時，由于<0，x∈(0，1)時，g(x)>0，此時，函數單調遞減；
x∈(1，+∞)時，，此時，函數單調遞增.
綜上所述：
當時，函數在（0,1）上單調遞減；函數在(1,+∞)上單調遞增；
當時，函數在(0,+∞)上單調遞減；
當時，函數在（0,1）上單調遞減；函數在（1,）上單調遞增；函數在（,+∞）上單調遞減.