Question

（2013•汕頭二模）已知拋物線和雙曲線都經過點M（1，2），它們在x軸上有共同焦點，對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點．
（1）求拋物線和雙曲線標準方程；
（2）已知動直線m過點P（3，0），交拋物線于A，B兩點，記以線段AP為直徑的圓為圓C，求證：存在垂直于x軸的直線l被圓C截得的弦長為定值，并求出直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的方程為 y²=2px（p＞0），把點M（1，2）代入求得p的值，即可求得拋物線的方程．對于雙曲線，由焦點坐標求得c的值，由雙曲線的定義求得a，從而求得b的值，從而求得雙曲線的標準方程．
（2）由題意可得，AP的中點為C，設A（x₁，y₁），則C（

x1+3

2

，

y1

2

）．設D、E是圓C上的兩個點，且DE垂直于x軸，DE的中點為H，點D（x₂，y₂），則H（x₂，y₃），求得|DC|和|CH|、|DH|²，可得當x₂=2時，|DH|²=2，故弦長為|DE|=2|DH|=2

2

 為定值，由此可得結論

解答：解：（1）設拋物線的方程為 y²=2px（p＞0），把點M（1，2）代入求得p=2，
∴拋物線的方程為  y²=4x，焦點坐標為F₁（1，0）．
對于雙曲線，一個焦點坐標為F₁（1，0），則另一個焦點坐標為F₂（-1，0），
故c=1，2a=||MF₁|-|MF₂||=2

2

-2，∴a=

2

-1，∴b²=c²-a²=2

2

-2．
故雙曲線的標準方程為

x2

3-2 2

-

y2

2 2 -2

=1．
（2）由題意可得，AP的中點為C，設A（x₁，y₁），則C（

x1+3

2

，

y1

2

）．
設D、E是圓C上的兩個點，且DE垂直于x軸，DE的中點為H，點D（x₂，y₂），則H（x₂，y₃），
|DC|=

1

2

|AP|=

1

2

(x1-3)2+y12

，|CH|=|

x1+3

2

-x₂|=

1

2

|（x₁-2x₂）+3|，
|DH|²=|DC|²-|HC|²=

1

4

[(x1-3)2+y12]-

1

4

[x1-2x2)+3]2=（x₂-2）x₁-x22+3x₂ 
由x₂的任意性可得，當x₂=2時，|DH|²=-4+6=2，故弦長為|DE|=2|DH|=2

2

 為定值．
故存在垂直于x軸的直線l（即直線DE），倍圓截得的弦長為定值，直線l的方程為 x=2．

點評：本題主要考查用待定系數法求拋物線和雙曲線的標準方程，直線和圓相交的性質，屬于中檔題．