Question

已知⊙C過點P（1，1），且與⊙M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．（Ⅰ）求⊙C的方程；
（Ⅱ）設Q為⊙C上的一個動點，求的最小值；
（Ⅲ）過點P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設圓心C（a，b），則，解得
則圓C的方程為x²+y²=r²，
將點P的坐標代入得r²=2，
故圓C的方程為x²+y²=2
（Ⅱ）設Q（x，y），則x²+y²=2，

=x²+y²+x+y﹣4=x+y﹣2，
令x=cosθ，y=sinθ，
∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，
∴（θ+）=2kπ﹣時，2sin（θ+）=﹣1，
所以的最小值為﹣2﹣2=﹣4．
（Ⅲ）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，
故可設PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），
由，得（1+k²）x²+2k（1﹣k）x+（1﹣k）²﹣2=0
因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解，
故可得
同理，，
所以=k_OP  ，
所以，直線AB和OP一定平行