Question

已知函數f（x）=x²-2ax+3，命題P：f（x）在區間[2，3]上的最小值為f（2）；命題Q：方程f（x）=0的兩根x₁，x₂滿足x₁＜-1＜x₂．若命題P與命題Q中有且只有一個真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：結合二次函數的性質可得，f（x）=（x-a）²+3-a²，對于命題 P：由f（x）在區間[2，3]上的最小值為f（2）可求a的范圍；對于命題Q：方程f（x）=0的兩根x₁，x₂滿足x₁＜-1＜x₂，則可得f（-1）＜0，可求a的范圍，若P或Q中只有一個為真可知有兩種情況：①P真，Q假，②P假，Q真，分別可求a的范圍
解答：解：f（x）=（x-a）²+3-a²，對稱軸x=a，
對于命題 P：∵f（x）在區間[2，3]上的最小值為f（2），∴a≤2；
對于命題Q：方程f（x）=0的兩根x₁，x₂滿足x₁＜-1＜x₂，∴f（-1）＜0，∴a＜-2
∴當P真，Q假時，∴-2≤a≤2
當P假，Q真時，∴a∈Φ
綜上，a的取值范圍是[-2，2]．
點評：本題主要考查了命題真假的應用，解題的關鍵是熟練利用二次函數的性質及一元二次方程的實根分布求解參數的取值范圍．