Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（x+1），g（x）=loga ，（a＞0且a≠1）．記F（x）=2f（x）+g（x）．
（1）求函數(shù)F（x）的零點；
（2）若關(guān)于x的方程F（x）﹣2m2+3m+5=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：F（x）=2f（x）+g（x）= （a＞0且a≠1），

要使函數(shù)F（x）有意義，則必須 ，解得﹣1＜x＜1，

∴函數(shù)F（x）的定義域為D=（﹣1，1）．

令F（x）=0，則 …（*）

方程變?yōu)? ，

∴（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0

解得x1=0，x2=﹣3，

經(jīng)檢驗x=﹣3是（*）的增根，

∴方程（*）的解為x=0，

∴函數(shù)F（x）的零點為0

（2）解：函數(shù) 在定義域D上是增函數(shù)，可得：

①當(dāng)a＞1時，F(xiàn)（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是增函數(shù)，

②當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是減函數(shù)．

因此問題等價于關(guān)于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解．

①當(dāng)a＞1時，由（2）知，函數(shù)F（x）在[0，1）上是增函數(shù)，

∴F（x）∈[0，+∞），

∴只需2m2﹣3m﹣5≥0，解得：m≤﹣1，或 ．

②當(dāng)0＜a＜1時，由（2）知，函數(shù)F（x）在[0，1）上是減函數(shù)，

∴F（x）∈（﹣∞，0]，

∴只需2m2﹣3m﹣5≤0解得： ，

綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時： ；

當(dāng)a＞1時，m≤﹣1，或

【解析】（1）利用對數(shù)函數(shù)和分式函數(shù)的定義域即可得出F（x）其定義域，利用零點的意義和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出；（2）對a分類討論可得函數(shù)F（x）的單調(diào)性，進(jìn)而問題等價于關(guān)于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解．再利用一元二次不等式的解法即可得出．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的定義域及其求法(求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零)，還要掌握函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系(二次函數(shù)的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．