Question

為了加快經濟的發展，某省選擇兩城市作為龍頭帶動周邊城市的發展，決定在兩城市的周邊修建城際輕軌，假設為一個單位距離，兩城市相距個單位距離，設城際輕軌所在的曲線為，使輕軌上的點到兩城市的距離之和為個單位距離，

（1）建立如圖的直角坐標系，求城際輕軌所在曲線的方程；
（2）若要在曲線上建一個加油站與一個收費站，使三點在一條直線上，并且個單位距離，求之間的距離有多少個單位距離？
（3）在兩城市之間有一條與所在直線成的筆直公路，直線與曲線交于兩點，求四邊形的面積的最大值.

Answer 1

（1）（2）8（3）

(1)根據題目條件選取適當的坐標系，本小題應該以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，這樣得到的軌跡方程是標準方程，有利于下一步的計算.
（2）由橢圓的定義可知|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8.
(3)先求出四邊形的面積的表達式，設直線方程為y=x+t,然后與橢圓方程聯立，消x后得到關于y的一元二次方程，借助韋達定理，根據,
求出面積關于t的函數表達式，利用函數的方法求最值即可.
解：(1)以AB為x軸，以AB中點為原點O建立直角坐標系，設曲線E上點，
∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8
∴動點軌跡為橢圓，且a=5,c=4,從面b=3.
∴曲線E的方程為                                                     4分
(2)由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8                         8分
(3)將代入，得
設


所以當t=0時，面積最大是，此時直線為l:y=x  13分