Question

【題目】已知直線.

(1)若直線不經過第四象限，求的取值范圍;

(2)若直線交軸負半軸于,交軸正半軸于，求的面積的最小值并求此時直線的方程；

(3)已知點,若點到直線的距離為，求的最大值并求此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）[0,+∞)；（2）S的最小值為4，此時的直線方程為x2y+4=0；（3）d的最大值為5，此時直線方程為3x+4y+2=0。

【解析】

（1）把已知方程變形，利用線性方程求出直線所過定點即可；化直線方程為斜截式，由斜率大于等于0且在y軸上的截距大于等于0聯立不等式組求解；

（2）由題意畫出圖形，求出直線在兩坐標軸上的截距，代入三角形面積公式，利用基本不等式求最值；

（3）當PM⊥l時，d取得最大值，由兩點的距離公式可得最大值，求得PM的斜率，可得直線l的斜率，由點斜式方程可得所求直線l的方程．

(1)由kxy+1+2k=0,得k(x+2)+(y+1)=0，

聯立,解得，

則直線l:kxy+1+2k=0過定點M(2,1)；

由kxy+1+2k=0，得y=kx+1+2k，

要使直線不經過第四象限,則，解得k0。

∴k的取值范圍是[0,+∞)。

(2)如圖，

由題意可知，k>0，

在kxy+1+2k=0中,取y=0,得，取x=0，得y=1+2k，

∴

。

當且僅當，即時等號成立。

∴S的最小值為4，此時的直線方程為12xy+2=0，即x2y+4=0。

(3)點P(1,5)，若點P到直線l的距離為d，

當PM⊥l時,d取得最大值,且為，

由直線PM的斜率為，

可得直線直線l的斜率為，

則直線l的方程為，

即為3x+4y+2=0。