Question

【題目】如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；

（2）在規劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；

（3）對規劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離．

Answer 1

【答案】（1）15（百米）；

（2）見解析；

（3）17+（百米）.

【解析】

解：解法一：

（1）過A作，垂足為E.利用幾何關系即可求得道路PB的長；

（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.

（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離．

解法二：

（1）建立空間直角坐標系，分別確定點P和點B的坐標，然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長；

（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.

（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離．

解法一：

（1）過A作，垂足為E.

由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.

因為PB⊥AB，

所以.

所以.

因此道路PB的長為15（百米）.

（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規劃要求.

②若Q在D處，連結AD，由（1）知，

從而，所以∠BAD為銳角.

所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.

因此，Q選在D處也不滿足規劃要求.

綜上，P和Q均不能選在D處.

（3）先討論點P的位置.

當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規劃要求；

當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規劃要求.

設為l上一點，且，由（1）知，，

此時；

當∠OBP>90°時，在中，.

由上可知，d≥15.

再討論點Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側，才能符合規劃要求.當QA=15時，.此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.

綜上，當PB⊥AB，點Q位于點C右側，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.

因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.

解法二：

（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.

以O為坐標原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標系.

因為BD=12，AC=6，所以OH=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標分別為3，3.

因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.

從而A（4，3），B（4，3），直線AB的斜率為.

因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為，

直線PB的方程為.

所以P（13，9），.

因此道路PB的長為15（百米）.

（2）①若P在D處，取線段BD上一點E（4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規劃要求.

②若Q在D處，連結AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），

所以線段AD：.

在線段AD上取點M（3，），因為，

所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.

因此Q選在D處也不滿足規劃要求.

綜上，P和Q均不能選在D處.

（3）先討論點P的位置.

當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規劃要求；

當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規劃要求.

設為l上一點，且，由（1）知，，此時；

當∠OBP>90°時，在中，.

由上可知，d≥15.

再討論點Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側，才能符合規劃要求.

當QA=15時，設Q（a，9），由，

得a=，所以Q（，9），此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.

綜上，當P（13，9），Q（，9）時，d最小，此時P，Q兩點間的距離

.

因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為（百米）.