Question

過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F₁且垂直于實(shí)軸的弦PQ，若F₂為另一個(gè)焦點(diǎn)，且有∠PF₂Q=90°，則此雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題設(shè)條件我們知道|PQ|=

2b2

a

，|F1F2|  =2c，|QF1| =

b2

a

，因?yàn)椤螾F₂Q=90°，則2(

b4

a2

+4c2)  =

4b4

a2

，據(jù)此可以推導(dǎo)出雙曲線的離心率．

解答：解：由題意可知通徑|PQ|=

2b2

a

，|F1F2|  =2c，|QF1| =

b2

a

，
∵∠PF₂Q=90°，
∴2(

b4

a2

+4c2)  =

4b4

a2

，
∴b⁴=4a²c²
∵c²=a²+b²，
∴c⁴-6a²c²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
∴e2=3+2

2

或e2=3-2

2

（舍去）
∴e=1+

2

．
答案：1+

2

．

點(diǎn)評(píng)：這道題數(shù)量間的關(guān)系比較繁瑣，推導(dǎo)過(guò)程中要多一點(diǎn)耐心．