Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，BC=6，PA=AD=CD=2，E為BC上一點且BE= BC，PB⊥AE．

（1）求證：AB⊥PE；
（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，

∴PA⊥AE，

又∵PB⊥AE，PB∩PA=P，

∴AE⊥平面PAB，又∵AB平面PAB，

∴AE⊥AB．

又∵PA⊥AB，PA∩AE=A，

∴AB⊥平面PAE，

又∵PE平面PAE，

∴AB⊥PE．

（2）解：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，

則B（2 ，0，0），P（0，0，2），C（﹣ ，3，0），D（﹣ ，1，0），

∴ =（﹣3 ，3，0）， =（﹣ ，3，﹣2）， =（0，2，0）．

設平面PBC的一個法向量 =（x，y，z），

則 ，令x=1，得 =（1， ， ）．

同理可求平面PCD的一個法向量 =（2，0，﹣ ）．

∴cos ＞= = =﹣ ．

∵二面角B﹣PC﹣D為鈍二面角，

∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）推導出PA⊥AE，AE⊥AB．由此能證明AB⊥PE．（2）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用棱錐的結構特征的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方．