Question

定義在R上的函數，對任意不等的實數都有成立，又函數的圖象關于點（1，0）對稱，若不等式成立，則當1≤x<4時，的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

Answer 1

A

解析試題分析：解：因為對任意不等實數x₁，x₂滿足所以函數f（x）是定義在R上的單調遞減函數．因為函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，所以函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即函數f（x）是定義在R上的奇函數．又因為對于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，所以f（x²-2x）≥f（-2y+y²）成立，所以根據函數的單調性可得：對于任意的x，y∈R，不等式x²-2x≥y²-2y成立，即（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），所以可得其可行域，如圖所示：

因為=所以表示點（x，y）與點（0，0）連線的斜率，所以結合圖象可得：的最小值是直線OC的斜率- ，最大值是直線AB的斜率1，所以的范圍為：[故答案為：
考點：抽象函數的性質
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握抽象函數的性質的證明與判斷，如單調性、奇偶性的證明與判斷，并且熟練的利用函數的性質解有關的不等式，以及熟練掌握線性規劃問題，此題綜合性較強知識點也比較零散，對學生掌握知識與運用知識的能力有一定的要求．