Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（1）判斷f（x）在[-1，1]上的單調性，并證明；
（2）解不等式：f（x+

1

2

）＜f（

1

x-1

）；
（3）若當a∈[-1，1]時，f（x）≤m²-2am+3對所有的x∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，由奇函數的定義將f（x₁）-f（x₂）進行轉化，利用所給的條件判斷出f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）根據（1）的結論和增函數的定義，以及函數的定義域，列出不等式組求出x的范圍；
（3）根據（1）的結論和條件，將問題轉化為m²-2am+3≥3，即m²-2am≥0對a∈[-1，1]恒成立，再構造函數g（a）=-2m•a+m²，即g（a）≥0對a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范圍，需對m進行分類討論求出此函數的最小值．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則-x₂∈[-1，1]，
∵f（x）為奇函數，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•（x₁-x₂），
由已知得

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上單調遞增．
（2）∵f（x）在[-1，1]上單調遞增，∴

x+ 1 2 ＜ 1 x-1 -1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1

，解得

-

3 2

≤x＜-1，
∴不等式的解集為{x|-

3

2

≤x＜-1}．
（3）∵f（1）=3，f（x）在[-1，1]上單調遞增，
∴在[-1，1]上，f（x）≤3，即m²-2am+3≥3，
∴m²-2am≥0對a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范圍．
設g（a）=-2m•a+m²≥0，
①若m=0，則g（a）=0≥0，自然對a∈[-1，1]恒成立．
②若m≠0，則g（a）為a的一次函數，若g（a）≥0對a∈[-1，1]恒成立，
則必須g（-1）≥0，且g（1）≥0，∴m≤-2或m≥2．
∴m的取值范圍是m=0或m≤-2或m≥2．

點評：本題考查了函數的單調性綜合問題，以及恒成立問題、轉化思想和分類討論思想，難度大，考查了學生的分析、解決問題的能力．