Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁，F₂，點P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=

4

3

，|PF₂|=

14

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l過點M（-2，1），交橢圓C于A，B兩點，且M恰是A，B中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓的定義，可得a的值，在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，可得橢圓的半焦距c=

5

，從而可求橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）設A，B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），設過點（-2，1）的直線l的方程為 y=k（x+2）+1，代入橢圓C的方程，利用A，B關于點M對稱，結合韋達定理，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）因為點P在橢圓C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，故橢圓的半焦距c=

5

，從而b²=a²-c²=4，
所以橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．（6分）
（Ⅱ）設A，B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．若直線l斜率不存在，顯然不合題意．
從而可設過點（-2，1）的直線l的方程為 y=k（x+2）+1，
代入橢圓C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．
因為A，B關于點M對稱，所以

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2，解得k=

8

9

，
所以直線l的方程為y=

8

9

(x+2)+1，即8x-9y+25=0．
經檢驗，△＞0，所以所求直線方程符合題意．                   （14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，確定橢圓的方程，聯立方程是關鍵．