Question

如圖所示，在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2,M為AB的中點.

(1)證明：AC⊥SB.

(2)求二面角S—CM—A的大小.

(3)求點B到平面SCM的距離.

Answer 1

解法一：(1)如圖，取AC中點D，連結DS、DB.

∵SA=SC,BA=BC,

∴AC⊥DS且AC⊥DB，

∴AC⊥平面SDB，

    又SB平面SDB，

∴AC⊥SB.

(2)∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，

∴SD⊥平面ABC.

    過D作DE⊥CM于E，連結SE，

    則SE⊥CM，

∴∠SED為二面角S—CM—A的平面角.

    由已知有DEAM，所以DE=1,

    又SA=SC=2,AC=4,∴SD=2.

    在Rt△SDE中，tan∠SED==2,

∴二面角S—CM—A的大小為arctan2.

(3)在Rt△SDE中，SE=,CM是邊長為4的正△ABC的中線，∴CM=2.

∴S_△SCM=CM·SE=×2×=,

    設點B到平面SCM的距離為h,

    由V_B—SCM=V_S—CMB,SD⊥平面ABC，

    得S_△SCM·h=S_△CMB·SD，

∴h==.

    即點B到平面SCM的距離為.