Question

已知橢圓的兩焦點為，，離心率．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值；
（3）以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求橢圓的方程即是求a，b兩參數的值，由題設條件橢圓的兩焦點為，，離心率求出a，b即可得到橢圓的方程．
（2）本題中知道了直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，故可由弦長公式建立方程求出參數m的值．首先要將直線方程與橢圓方程聯立，再利用弦長公式建立方程；
（3）設能構成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，故可設BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設k＜0），則BC邊所在直線的方程為，將此兩直線方程與橢圓的方程聯立，分別解出A，C兩點的坐標，用坐標表示出兩線段AB，BC的長度，由兩者相等建立方程求參數k，由解的個數判斷三角形的個數即可．
解答：解：（1）設橢圓方程為（a＞b＞0），…（1分）
則，，…（2分）∴a=2，b²=a²-c²=1…（3分）
∴所求橢圓方程為．…（4分）
（2）由，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，…（6分）
則△=64m²-80（m²-1）＞0得m²＜5（*）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，，y₁-y₂=x₁-x₂，…（7分）
…（9分）
解得.，滿足（*）
∴．…（10分）
（3）設能構成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直
或平行于x軸，故可設BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設k＜0），則BC邊所在直線的方
程為，由，得A，…（11分）
∴，…（12分）
用代替上式中的k，得，
由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²，…（13分）
∵k＜0，
∴解得：k=-1或，
故存在三個內接等腰直角三角形．…（14分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關鍵是掌握直線與圓錐曲線位置關系中的相關的知識，如本題中求解的重點是弦長公式的熟練掌握運用，依據條件進行正確轉化，分析出建立方程的依據很關鍵，如本題第二小題利用弦長公式建立方程求參數，第三小題中利用等腰三角形的性質轉化為兩弦長AB與BC相等，由此關系得到斜率k所滿足的方程，將求解有幾個三角形的問題轉化為關于k的方程有幾個根的問題，此類問題中正確轉化，充分利用等量關系是解題的重中之重．本題中轉化靈活，運算量大，且比較抽象，易出錯，做題時要嚴謹認真．