Question

在△ABC中，有下列命題：
①A＞B的充要條件為sinA＞sinB；          ②A＜B的充要條件為cosA＞cosB；
③若A，B為銳角，則sinA+sinB＞cosA+cosB；   ④tan

A+B

2

tan

C

2

為常數．
其中正確的命題的個數為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由題意，可借助三角函數的相關公式對四個命題 真假性作出判斷
①命題判斷可分兩類，角A是鈍角與不是鈍角兩類證明；②命題可由余弦函數在（0，π）上是減函數得出命題是真命題；③命題可由角C的取值未定，無法得了A，B兩角和的范圍，真假性無法判斷；④命題可由兩角和為

π

2

，故兩角正切值互為倒數作出判斷

解答：解：在△ABC中，
①A＞B的充要條件為sinA＞sinB；此是一個真命題，若A＞B，當A不超過90°時，顯然可得出sinA＞sinB，當A是鈍角時，由于

π

2

＞π-A＞B，可得sin（π-A）=sinA＞sinB，即 A＞B是sinA＞sinB的充分條件，當sinA＞sinB時，亦可得 A＞B，由此知 A＞B的充要條件為sinA＞sinB       
②A＜B的充要條件為cosA＞cosB；上命題是真命題，由于余弦函數在（0，π）上是減函數，故A＜B的充要條件為cosA＞cosB；
③若A，B為銳角，則sinA+sinB＞cosA+cosB；此命題是假命題，由于角C的范圍不確定，無法判斷sinA+sinB＞cosA+cosB是否成立；
④tan

A+B

2

tan

C

2

為常數，此命題正確，由于

A+B

2

+

C

2

=

π

2

，可得tan

A+B

2

tan

C

2

為常數
綜上知①②④是正確命題
故選C

點評：本題的考點是命題的真假判斷與應用，考查了充要條件的判斷，正、余弦函數大小的比較等，解題的關鍵是理解三角函數的性質，靈活運用三角函數的性質作出判斷，本題考查了判斷推理的能力及分類討論的思想