Question

已知點P（2，0），及⊙C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）當直線l過點P且與圓心C的距離為1時，求直線l的方程；
（2）設過點P的直線與⊙C交于A、B兩點，當|AB|=4，求以線段AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程變為標準方程后，分兩種情況①斜率k存在時，因為直線經過點P，設出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設直線的距離d，讓d等于1列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據k的值和P的坐標寫出直線l的方程即可；②當斜率不存在時顯然得到直線l的方程為x=2；（
2）利用弦|AB|的長和圓的半徑，根據垂徑定理可求出弦心距|CP|的長，然后設出直線l的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于|CP|列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程，把直線l的方程與已知圓的方程聯立消去x得到關于y的一元二次方程，利用韋達定理即可求出線段AB中點的縱坐標，把縱坐標代入到直線l的方程中即可求出橫坐標，即可得線段AB的中點坐標即為線段AB為直徑的圓的圓心坐標，圓的半徑為|AB|的一半，根據圓心和半徑寫出所求圓的標準方程即可．

解答：解：（1）由題意知，圓的標準方程為：（x-3）²+（y+2）²=9，
①設直線l的斜率為k（k存在）
則方程為y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0
又⊙C的圓心為（3，-2），r=3，
由

|3k-2k+2|

k2+1

=1?k=-

3

4

所以直線方程為y=-

3

4

(x-2)即3x+4y-6=0；
②當k不存在時，直線l的方程為x=2．
綜上，直線l的方程為3x+4y-6=0或x=2；

（2）由弦心距d=

r2-( AB 2 )2

=

5

，即|CP|=

5

，
設直線l的方程為y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0則圓心（3，-2）到直線l的距離d=

|3k+2-2k|

k2+1

=

5

，
解得k=

1

2

，所以直線l的方程為x-2y-2=0聯立直線l與圓的方程得

x-2y-2=0 (x-3)2+(y+2)2=9

，
消去x得5y2-4=0，則P的縱坐標為0，把y=0代入到直線l中得到x=2，
則線段AB的中點P坐標為（2，0），所求圓的半徑為：

1

2

|AB|=2，
故以線段AB為直徑的圓的方程為：（x-2）²+y²=4．

點評：此題考查學生靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，靈活運用垂徑定理及韋達定理化簡求值，會根據圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程，是一道中檔題．