Question

下列命題中所有正確的序號是

（1）（3）（4）

．
（1）A=B=N，對應f：x→y=（x+1）²-1是映射；
（2）函數f(x)=

x2-1

+

1-x2

和y=

x-1

+

1-x

都是既奇又偶函數；
（3）已知對任意的非零實數x都有f(x)+2f(

1

x

)=2x+1，則f（2）=-

1

3

；
（4）函數f（x-1）的定義域是（1，3），則函數f（x）的定義域為（0，2）；
（5）函數f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函數，則函數f（x）在（a，c）上一定是增函數．

Answer 1

分析：（1）根據映射的定義進行判斷，考慮對應法則；
（2）∵函數f(x)=

x2-1

+

1-x2

和y=

x-1

+

1-x

，根據f（-x）與f（x）的關系進行判斷；
（3）已知對任意的非零實數x都有f(x)+2f(

1

x

)=2x+1，令x=

1

x

代入，解出f（x），從而求解；
（4）∵函數f（x-1）的定義域是（1，3），即1＜x＜3，利用整體法進行求解；
（5）根據函數f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函數，因為f（c）點是否連續，不知道，從而不能判斷函數f（x）在（a，c）上一定是增函數．

解答：解：（1）A為自然數集，對應法則y=（x+1）²-1，計算結果也是非負整數，對任意x∈N，都有y∈N，故（1）正確；
（2）∵f(x)=

x2-1

+

1-x2

，∴f（-x）=f（x）為偶函數，故（2）錯誤；
（3）∵對任意的非零實數x都有f(x)+2f(

1

x

)=2x+1，
∴f（

1

x

）+2f（x）=

2

x

+1，聯立方程得：f（x）=-

2

3

x+

4

3x

+

1

3

，∴f（2）=-

4

3

+

2

3

+

1

3

=-

1

3

；故（3）正確；
（4）∵函數f（x-1）的定義域是（1，3），1＜x＜3，∴0＜x-1＜2，∴函數f（x）的定義域為（0，2），故（4）正確；
（5）函數f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函數，若f（x）在c點不連續，就不能說f（x）在（a，c）上一定是增函數，故（5）錯誤；

點評：此題主要考查映射的定義，奇函數和偶函數的性質，命題（3）是一道好題，注意把x換為

1

x

，使問題迎刃而解，此題綜合性比較強．