Question

已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離與其到定直線l：x=4的距離之比是

1

2

，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為M，軌跡M與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡M于B、C兩點(diǎn)．
（1）求軌跡M的方程；
（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí)，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形；
（3）△ABC的面積是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意得

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，則4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，由此能求出軌跡M的方程．
（2）由軌跡M與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A（-2，0）．知直線BC過(guò)點(diǎn)A時(shí)，A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，故直線BC的斜率不等于0，設(shè)直線BC的方程為x=my+1，由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0．再由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
（3）設(shè)△ABC的面積存在最值．由點(diǎn)A到直線BC的距離d=

3

1+m2

，|BC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=12

(m2+1)2 (3m2+4)2

=

12(m2+1)

3m2+4

．故△ABC的面積S=

1

2

|BC|•d=

18 1+m2

3m2+4

．由此能夠?qū)С觥鰽BC的面積S∈（0，

9

2

]．

解答：解：（1）由題意得

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，
則4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，
即3x²+4y²=12，∴

x2

4

+

y2

3

=1，即是軌跡M的方程．
（2）由（1）易知軌跡M與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A（-2，0）．
直線BC過(guò)點(diǎn)A時(shí)，A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，故直線BC的斜率不等于0，故可設(shè)直線BC的方程為x=my+1，由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0．
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則
y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

如果△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，必有|AB|=|AC|，
∴（x₁+2）²+y₁²=（x₂+2）²+y₂²，
∴（x₁+x₂+4）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴[m（y₁+y₂）+6][m（y₁-y₂）]+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵y₁≠y₂，∴（m²+1）（y₁+y₂）+6m=0，
∴（m²+1）（-

6m

3m2+4

）+6m=0，
∴m=0或

m2+1

3m2+4

=1（無(wú)解），即如果△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，則m=0，此時(shí)直線BC垂直于x軸．
反之，當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí)，直線BC的方程是x=1，
易知B（1，-

3

2

），C（1，

3

2

）或B（1，

3

2

），C（1，-

3

2

），
此時(shí)|BC|=3，|AB|=|AC|=

3 5

2

，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，
故直線BC垂直于x軸時(shí)，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形．
綜上可得：當(dāng)且僅當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí)，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形．
（3）存在最大值

9

2

，不存在最小值．
設(shè)△ABC的面積存在最值．由（2）知點(diǎn)A到直線BC的距離d=

3

1+m2

；
|BC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(m2+1)(y1-y2)2

=

(m2+1)[(3m2+4)2+ 36 3m2+4 ]

=12

(m2+1)2 (3m2+4)2

=

12(m2+1)

3m2+4

．
故△ABC的面積S=

1

2

|BC|•d=

18 1+m2

3m2+4

．
令t=

1+m2

，則t≥1且m²=t²-1，則

1+m2

3m2+4

=

t

3t2+1

=

1

3t+ 1 t

，
令g（t）=3t+

1

t

，則g′（t）=3-

1

t2

，當(dāng)t≥1時(shí)g′（t）恒大于0，
故函數(shù)g（t）=3t+

1

t

在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)g（t）的值域?yàn)閇4，+∞），故

1

g(t)

∈（0，

1

4

]，
所以△ABC的面積S∈（0，

9

2

]，即△ABC的面積存在最大值

9

2

，不存在最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意培養(yǎng)解題能力，提高解題技巧．