Question

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體：
①f（x）在其定義域上是單調增函數或單調減函數；
②在f（x）的定義域內存在區間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是．
（Ⅰ）判斷函數y=-x³是否屬于集合M？并說明理由．若是，請找出區間[a，b]；
（Ⅱ）若函數∈M，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）判斷函數y=-x³是否屬于集合M即檢驗函數y=-x³是否滿足①②，①可利用導數判單調性，②即判斷是否有解．
（Ⅱ）若函數∈M，可判斷g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數，故g（x）滿足②即方程在[1，+∞）內有兩個不等實根，方法一：平方去根號，轉化為二次函數在特定區間上解的問題，利用實根分布處理；方法二：可轉化為方程在[1，+∞）內有兩個不等實根，兩個函數的圖象有兩個交點．結合圖象求解．兩種方法中都要注意等價轉化．
解答：解：（Ⅰ）y=-x³的定義域是R，
∵y^/=-3x²≤0，∴y=-x³在R上是單調減函數．
則y=-x³在[a，b]上的值域是[-b³，-a³]．
由解得：或（舍去）或（舍去）
∴函數y=-x³屬于集合M，且這個區間是．

（Ⅱ）設，則易知g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數．
∵g（x）∈M，∴存在區間[a，b]?[1，+∞），滿足，．
即方程在[1，+∞）內有兩個不等實根．
[法一]：方程在[1，+∞）內有兩個不等實根，
等價于方程在[2t，+∞）內有兩個不等實根．
即方程x²-（4t+4）x+4t²+4=0在[2t，+∞）內有兩個不等實根．
根據一元二次方程根的分布有
解得．
因此，實數t的取值范圍是．
[法二]：要使方程在[1，+∞）內有兩個不等實根，
即使方程在[1，+∞）內有兩個不等實根．
如圖，當直線經過點（1，0）時，，

當直線與曲線相切時，
方程兩邊平方，得x²-（4t+4）x+4t²+4=0，由△=0，得t=0．
因此，利用數形結合得實數t的取值范圍是．
點評：本題考查集合的包含關系、函數的定義域、值域問題，同時考查數形結合思想、等價轉化思想和利用所學知識分析問題、解決問題的能力．