Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+

π

4

）（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值為4，最小正周期為

2π

3

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設a∈（

π

2

，π），且f（

2

3

a+

π

12

）=

1

2

，求cosa的值．

Answer 1

分析：（1）依據函數y=Asin（ωx+

π

4

）中參數的意義：A是振幅，反應為函數的最值，

2π

ω

反應為函數的最小正周期，分別計算出A、ω的值即可得到f（x）的解析式；
（2）由f（

2

3

a+

π

12

）=

1

2

得到4cos2a=

1

2

，再由二倍角公式即可得到cos²a=

9

16

，再由角的范圍即可得到cosa的值．

解答：解：（1）∵函數y=Asin（ωx+

π

4

）的最大值為4
∴A=4，
∵函數y=4sin（ωx+

π

4

）的最小正周期為

2π

3

，
∴

2π

ω

=

2π

3

，∴ω=3，
故f（x）的解析式為：f（x）=4sin（3x+

π

4

）；
（2）由于f（

2

3

a+

π

12

）=

1

2

，
則4sin[3（

2

3

a+

π

12

）+

π

4

]=4sin（2a+

π

2

）=4cos2a=

1

2

又由cos2a=2cos²a-1，則cos²a=

9

16

∵a∈（

π

2

，π），∴cosa=-

3

4

．

點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數的性質，三角函數的振幅和周期的計算公式，以及二倍角公式，屬于中檔題．