Question

在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知c=2，sinC=

3

2

，
（1）若sin²B-sinAsinB-2sin²A=0，求a、b的值；
（2）若角C為銳角，設B=x，△ABC的周長為y，試求函數y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據sinC求得C的值，進而利用余弦定理求得a和b的值．
（2）根據C是銳角確定C的值，進而根據正弦定理表示出a和b，進而表示出y，利用兩角和公式化簡整理，利用正弦函數的性質求得f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵sinC=

3

2

，C∈（0°，180°），∴C=

π

3

或C=

2π

3

，
∵c=2，
∴由余弦定理得：a²+b²-ab=4①或a²+b²+ab=4②，
∵sin²B-sinAsinB-2sin²A=0，
∴由正弦定理得：b²-ab-2a²=0，∴b=-a（舍去）或b=2a③
由①③解得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

，
由②③解得a=

2 7

7

，b=

4 7

7

．
（2）∵C為銳角，∴C=

π

3

，∴A+B=

2π

3

，即A=

2π

3

-x，
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

4 3

3

，
∴a=

4 3

3

sin(

2π

3

-x)，b=

4 3

3

sinx，
∴y=a+b+c=2+

4 3

3

[sinx+sin(

2π

3

-x)]=2+

4 3

3

(

3

2

sinx+

3

2

cosx)=2+4sin(x+

π

6

)，
∵0＜x＜

2π

3

，
∴當x=

π

3

時，y_max=6．

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．正弦定理和余弦定理及其變形公式是解三角形問題中常用的公式，故應熟練記憶．