Question

如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M為BC的中點
(Ⅰ)證明：AM⊥PM ；
(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；
(Ⅲ)求點D到平面AMP的距離

Answer 1

(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)45°(Ⅲ)

(Ⅰ) 取CD的中點E，連結PE、EM、EA.
∵△PCD為正三角形，∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD          （2分）
∵四邊形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形
由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3
∴                          （4分）
，又在平面ABCD上射影：
∴∠AME=90°，      ∴AM⊥PM                  （6分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角           （8分）
∴tan ∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P－AM－D為45°；                   （10分）
(Ⅲ)設D點到平面PAM的距離為，連結DM，則
 ，   ∴
而                         （12分）
在中，由勾股定理可求得PM=
,所以：∴
即點D到平面PAM的距離為                       （14分）
解法2：(Ⅰ) 以D點為原點，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,
依題意，可得
    ……2分
∴
     （4分）
∴ 
即,∴AM⊥PM             （6分）
(Ⅱ)設，且平面PAM，則
  即
∴ ，   
取，得                    （8分）
取，顯然平面ABCD，   ∴
結合圖形可知，二面角P－AM－D為45°；    （10分）
(Ⅲ) 設點D到平面PAM的距離為，由(Ⅱ)可知與平面PAM垂直，則
=
即點D到平面PAM的距離為              （14分）