Question

【題目】如圖，三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形， ， .

（1）求證：平面平面；

（2）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】【試題分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用等邊三角形的性質(zhì)，得到，通過計(jì)算證明，由此證明平面，從而得到平面平面.（2）利用（1）的結(jié)論，以為高，計(jì)算體積

【試題解析】

（1）取AC的中點(diǎn)O，連接BO，PO.

因?yàn)?/span>ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

所以BO⊥AC，BO=.

因?yàn)?/span>PA⊥PC，所以PO=.

因?yàn)?/span>PB=2，所以OP2+OB2=PB2，所以PO⊥OB.

因?yàn)?/span>AC，OP為相交直線，所以BO⊥平面PAC.

又OB平面ABC，

所以平面PAB⊥平面ABC．

（2）因?yàn)?/span>PA=PC，PA⊥PC，AC=2，

所以.

由（1）知BO⊥平面PAC.

所以.