Question

已知復數z＝cos2α＋isinα，α∈R，且argz＝，

(Ⅰ)求復數z；

(Ⅱ)若復數ω滿足|ω|＝1，且|z－ω|≤，求argω的范圍．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查復數的概念和三角基本運算． 　　解：(Ⅰ)由argz＝，得cos2α＝－sinα，且sinα＞0 　　∴2sin2α－sinα－1＝0，　　解得sinα＝－　　或sinα＝1． 　　∵sinα＞0，∴舍去sinα＝－，于是sinα＝1，cos2α＝－1． 　　故z＝－1＋i． 　　(Ⅱ)由|ω|＝1可設ω＝cosθ＋isinθ， 　　得z－ω＝(－1－cosθ)＋(1－sinθ)i， 　　∴|z－ω|＝． 　　∵|z－ω|≤且3＋2＞0恒成立， 　　∴3＋2≤5　　即　　≤． 　　又θ＝argω∈[0，2π)，　　∴≤θ＋≤， 　　于是0≤θ≤，即　　argω∈[0，]．