Question

已知函數y=f（x）是R上的偶函數，當x≥0時，有f（x）=

2 π |x-π|，x＞ π 2 sinx，0≤x≤ π 2

，若關于x的方程f（x）=m（m∈R）有且僅有四個不同的實數根，且α是四個根中最大根，則α=

3π

2

．

Answer 1

分析：因為y=f（x）是R上的偶函數，要使關于x的方程f（x）=m（m∈R）有且僅有四個不同的實數根，則只需當x≥0時，方程f（x）=m（m∈R）有且僅有2個不同的實數根即可，做出函數f（x）在x≥0的圖象由圖象即可判斷．

解答：解：要使關于x的方程f（x）=m（m∈R）有且僅有四個不同的實數根，則只需當x≥0時，方程f（x）=m（m∈R）有且僅有2個不同的實數根即可，
做出函數f（x）在x≥0的圖象如圖：
由圖象可知，當x=

π

2

時f（

π

2

）=1.

2

π

•|

π

2

-π|=1，
當根據圖象可知要使f（x）=m（m∈R）有且僅有2個不同的實數根，則m=1，
此時由

2

π

|x-π|=1得x=

π

2

或x=

3π

2

．
故答案為：

3π

2

．

點評：本題主要考查函數性質的應用以及函數與方程之間的關系，利用數形結合是解決本題的關鍵．