Question

已知實數a，b滿足：

a-b+1≥0 2a-b-1＜0 2a+2b-1≥0

，z=（a-b-1）²，則z的取值范圍是

（

1

4

，4]

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部（不含BC邊），將k=a-b-1對應的直線進行平移，求得k的取值范圍，再平方即可得到z的取值范圍．

解答：解：作出不等式組

a-b+1≥0 2a-b-1＜0 2a+2b-1≥0

表示的平面區域，
得到如圖的△ABC及其內部（不含BC邊），其中
A（-

1

4

，

3

4

），B（2，3），C（

1

2

，0）
設k=a-b-1，將直線l：k=a-b-1進行平移，
觀察x軸上的截距變化，可得
當l與直線AB重合時，目標函數z達到最小值，得k_最小值=-2；
當l經過點C時，目標函數z達到最大值，由于區域內不含有點C，得k＜-

1

2

∴-2≤a-b-1＜-

1

2

，平方得

1

4

＜（a-b-1）²≤4，
即得z的取值范圍是（

1

4

，4]．
故答案為：（

1

4

，4]．

點評：本題給出二元一次不等式組，求目標函數z的最值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．